2.1-Función de transferencia
Una función de transferencia en un sistema que está descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.
El enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas.
En la teoría de control, el concepto de función de transferencia es algo que encontraras continuamente en varios textos y cursos que te dispongas a realizar. Y no es para menos, pues la función de transferencia es una herramienta importantísima que nos permitirá analizar cómo se comportará un determinado proceso, bien sea industrial o académico, a lo largo del tiempo.
En pocas palabras una función de transferencia es una función matemática lineal que emplea la famosa herramienta matemática de la transformada de Laplace y permite representar el comportamiento dinámico y estacionario de cualquier sistema. Sin embargo, vamos a detallar este concepto minuciosamente.
Sabemos que cuando nos encontramos en frente de algún proceso, sea cual sea, este proceso por lo general contará con actuadores y sensores. Los actuadores harán con que mis variables (presión, temperatura, nivel, humedad, velocidad, etc) comiencen a variar con el tiempo, mientras que los sensores se encargan de medir y mostrarme como dichas variables están cambiando con el tiempo.
1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.
2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.
3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)
4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.
5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.
Video de apoyo:
2.1.1-Sistemas mecánicos de traslación y rotación.
El objetivo de un sistema de control no es otro que conseguir que la señal de salida de un sistema dinámico (la velocidad angular de un motor eléctrico, la orientación de una antena, el vector velocidad de un aeroplano, etc.) alcance un valor deseado de una determinada forma, a pesar de que sobre dicha señal o sobre otra parte del sistema actúen una serie de fuerzas perturbadoras externas o se produzcan una serie de cambios de parámetros internos en el mismo. Sin embargo, antes de cualquier problema de diseño es necesario disponer de un modelo del sistema a controlar para poder analizarlo y mediante la simulación del modelo obtenido comprobar si es admisible o no.
La modelización de sistemas dinámicos complejos es, en general, muy difícil, lenta y costosa. En este capítulo se van a estudiar los principios más elementales que permitan plantear las ecuaciones de la dinámica para sistemas simples: eléctricos, mecánicos, electromecánicos y térmicos.
Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema de control, generalmente ecuaciones diferenciales ordinarias, será necesario resolverlas para analizar la respuesta dinámica del sistema y posteriormente plantear el diseño de control más adecuado. En general la resolución de ecuaciones dinámicas de sistemas reales es muy compleja dado que se trata de ecuaciones de alto orden, variables en el tiempo y no lineales. En control, sin embargo, la finalidad del mismo suele consistir en mantener la señal de salida del sistema en un punto de equilibrio, y de esta forma es posible estudiar el comportamiento del sistema en torno a este punto y ante señales de entrada de pequeño valor. Como consecuencia, en muchos casos, es posible simplificar las ecuaciones a un modelo lineal invariante en el tiempo.
Sistemas mecánicos: El movimiento de los elementos mecánicos de un sistema de control puede ser de traslación, de rotación o una combinación de ambos. En cualquier caso, cualquiera de ellos actúa de acuerdo a las leyes de Newton.
Movimiento de traslación: El movimiento de traslación está definido como un movimiento que se realiza en linea recta. Las variables que permiten su descripción son desplazamiento, velocidad y aceleración lineales. La segunda ley de Newton aplicada a un cuerpo rígido en movimiento de traslación se puede expresar de la forma:
esto es, la suma algebraica de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en una dirección dada es igual al producto de su masa M por su aceleración a en la misma dirección.
Los elementos básicos que intervienen en un sistema mecánico de traslación son: masa, resorte lineal o muelle y fricción o rozamiento viscoso. Dichos elementos, junto con sus ecuaciones, son mostrados en la Figura 3.3 mientras que en la Tabla 3.2 se incluyen los símbolos y unidades empleadas para las diversas magnitudes que intervienen en este tipo de sistemas.
Movimiento de rotación: El movimiento de rotación de un cuerpo se puede definir como su giro alrededor de un eje fijo. La segunda ley de Newton para el movimiento de rotación es:
que establece que la suma algebraica de los momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto del momento de inercia J por la aceleración angular α alrededor del eje.
Los elementos básicos que intervienen en un sistema mecánico de rotación son: inercia, resorte torsional o rigidez y fricción o rozamiento viscoso. Dichos elementos y sus correspondientes ecuaciones son mostrados en la Figura 3.4 mientras que en la Tabla 3.3 se incluyen los símbolos y unidades empleadas para las diversas magnitudes que intervienen.
Conversión traslación-rotación: En sistemas de control de movimiento es habitualmente necesario convertir movimientos de rotación en movimientos de traslación. Así, por ejemplo, es común desplazar cargas a lo largo de una línea recta mediante el uso de un tornillo sinfín, un sistema de cremallera o una polea movidos todos ellos por un motor.
2.1.2-Sistemas eléctricos.
Los circuitos eléctricos se componen de interconexiones de fuentes de voltaje y corriente eléctrica, elementos pasivos como resistencias, condensadores e inducciones, y elementos electrónicos activos, especialmente amplificadores operacionales. Antes de la llegada de los ordenadores estos elementos eran prácticamente los únicos que permitían la construcción de dispositivos de control, y concretamente los amplificadores operacionales han permitido simplificar enormemente el diseño de controladores.
La forma clásica de escribir ecuaciones de circuitos eléctricos se basa en el método de mallas o en el de nodos, los cuales están formulados a partir de las dos leyes de Kirchoff:
Leyes de corriente de Kirchoff: La suma algebraica de todas las corrientes que dejan un punto de unión o nodo en un circuito es cero.
Leyes de voltaje de Kirchoff: La suma algebraica de todos los voltajes tomados en torno a una trayectoria cerrada en un circuito es cero.
2.2- Sistemas análogos.
Antes de obtener modelos matemáticos de los elementos físicos que componen los sistemas de control, es interesante indicar que existen componentes que presentan cierto tipo de relación, aun cuando su aspecto físico y función puedan ser muy diferentes. En algunos casos, se observa que, aun siendo sus variables de diferente naturaleza, sus evoluciones en el tiempo presentan características comunes, de forma que se puede establecer una cierta analogía entre ambos sistemas, denominado estos como "sistemas análogos". Se dice que dos sistemas son análogos cuando las ecuaciones diferenciales que definen su comportamiento tienen igual forma matemática. De esta manera, comparando ambas ecuaciones pueden definirse también las variables análogas. Por tanto, matemáticamente la solución de ambas ecuaciones diferenciales será la misma y el comportamiento de las variables análogas será también idéntico. Este principio de analogía se ha venido utilizando a lo largo de muchos años, especialmente cuando no existía la posibilidad de utilizar computadores digitales para simulación de procesos, para la obtención de circuitos eléctricos que permitan simular el comportamiento del sistema real. En concreto, se busca un circuito eléctrico cuyas ecuaciones tengan la misma forma que las ecuaciones que definen al sistema que se desea analizar. Para ello a partir de las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema utilizando las variables análogas se obtienen las expresiones análogas para el circuito eléctrico y se representa dicho circuito. Esto permitía, por ejemplo, construir un circuito eléctrico análogo a un sistema mecánico determinado, y poder simular el comportamiento del sistema mecánico mediante el circuito eléctrico sin tener que fabricar los componentes mecánicos para cada una de las posibles condiciones de simulación. Aunque el principio de analogía permite establecer relaciones entre sistemas de cualquier tipo, se pueden destacar como las de mayor relevancia, por su amplio uso, las que establecen relaciones entre los sistemas de tipo mecánico con los sistemas de tipo eléctrico. En este caso, es habitual utilizar los dos tipos de analogía que se indican a continuación
2.2.1-Analogia fuerza tensión.
En este tipo de analogía, se consideran como variables análogas la fuerza en el circuito mecánico y la tensión en el circuito eléctrico se tendrán las variables análogas según la siguiente tabla:
Modelar el circuito mecánico de la figura y calcular el circuito eléctrico análogo utilizando la analogía Fuerza - Tensión:
Luego el aplicar una tensión V al circuito sería equivalente a aplicar una fuerza F al sistema mecánico. Entonces la intensidad i que circularía por el circuito sería análoga a la velocidad que adquiriría la masa y la carga al desplazamiento de la masa.
2.2.2-Analogia fuerza corriente.
Considerando ahora como variables análogas la fuerza del circuito mecánico y la corriente del circuito eléctrico, se tendrán como variables análogas las representadas en la siguiente tabla.
Para el sistema del Ejemplo 1.1. calcular el circuito eléctrico análogo utilizando la analogía Fuerza - Corriente:
En este caso, la intensidad de la fuente es análoga a la fuerza aplicada, la tensión a la velocidad de la masa y el flujo al desplazamiento. De esta forma, no es necesario construir el sistema mecánico para observar su funcionamiento, sino que basta con realizar su circuito eléctrico equivalente. La ventaja de utilizar esta analogía es aún más relevante cuando se desea observar el funcionamiento del sistema mecánico con diferentes masas, rozamientos, etc.
2.3-Algebra de bloque reducción y representación de sistemas.
En primer lugar, un diagrama de bloques en la teoría de control es una representación gráfica del funcionamiento de cada uno de los componentes que conforman un sistema dentro de un proceso, dándonos nociones de las direcciones y flujos que las diversas señales dentro del propio sistema pueden tomar para alcanzar un comportamiento predeterminado por el ingeniero o operario del proceso.
Además, en un diagrama en bloques aplicados a la automatización o a la teoría del control todas las variables del sistema están conectadas unas con otras a través de los denominados bloques funcionales o simplemente bloques que representa una operación matemática, que puede describir por ejemplo el comportamiento dinámico de un sistema, que a su vez se encuentra estimulado por una entrada para producir una determinada salida.
Álgebra de Bloques
Antes de comenzar a resolver ejercicios de control usando el diagrama de bloques, será importante tener como punto inicial, los fundamentos del Álgebra de Bloques de un Sistema de Control.
A continuación, entenderemos cuales son las reglas de simplificación del diagrama de bloques, las cuales deberás dominar para poder resolver cualquier ejercicio de la teoría de control.
2.4- Sistemas eléctricos: motor de CD controlado por inductor y CD por campo
Control por armadura o por inducido En el motor DC de armadura controlada el campo es excitado de forma separada por una corriente constante if a partir de una fuente DC fija. El flujo puede ser escrito como φ = Kf if , Kf constante. El torque desarrollado por el motor es proporcional al producto de φ y la corriente en la armadura y la longitud de los conductores. Dado que el campo es asumido constante, el torque desarrollado por el motor se puede expresar como:
El torque del motor es usado para accionar el sistema que posee una inercia total Ieq. Asumiendo el caso ideal donde el torque entregado es igual a la carga (en la pr´actica no hay 100 % de eficiencia). Entonces: Ieq ¨θ = Kiia. (1) donde θ es la position angular del eje del motor. A medida que la armadura rota en un campo, ´esta desarrolla un voltaje inducido eb en direcci´on opuesta al suministro de armadura. Este voltaje se llama fuerza contra-electromotriz y es proporcional a la velocidad de rotaci´on ˙θ y el flujo creado por el campo. Dado que el campo es constante, la fuerza contra-electromotriz puede ser expresada como: eb = Kb ˙θ. (2) donde Kb es la constante de voltaje del motor. El control de la velocidad del motor se obtiene ajustando el voltaje aplicado a la armadura. Su polaridad determina la direcci´on de rotaci´on del motor. El diagrama esquem´atico del sistema motor DC de armadura se presenta en la Fig. 1, donde Ra = 1Ω, La ∼ 0H, Kb = 5V/rad/sec, Ki = 5Nm/A, y el momento de inercia efectivo es Ieq = 0,1kgm2 . La fricci´on y la inercia del engranaje son despreciables.
Control por campo
La Fig. 2 muestra el diagrama esquemático del motor DC de campo controlado donde la corriente de la armadura es mantenida constante y el campo es suministrado a partir de un voltaje ajustable ef .
El torque τ desarrollado por el motor es proporcional al flujo creado por la corriente de armadura, la corriente del campo y la longitud de los conductores. Para un motor dado, con corriente de armadura constante, el torque puede ser expresado como: τ = KT if , (4) donde KT es la constante de torque. Este torque es usado para mover la carga de inercia total J y para vencer la fricción viscosa. Eso puede ser expresado, despreciando la rigidez torsional del eje, como: τ = J ¨θm + B ˙θm. (5) Aplicando la ley de voltaje de Kirchoff en el circuito del campo se obtiene: ef = Rf if + Lf ˙if . (6) La representación espacio de estados se obtiene considerando a la posición angular y su derivada como los primeros estados, x1 = θm, x2 = ˙θm, la corriente de campo como el tercer estado, x3 = if , y al voltaje del campo como la entrada u = ef donde la posición angular se considera como la salida y = θm = x1. Luego las matrices correspondientes son:
2.5- Espacio de estados y su relación entre con la función de transferencia.
tf2ss convierte los parámetros de una representación de la función de transferencia de un sistema dado en los de una representación equivalente del espacio de estados.
Para los sistemas de tiempo discreto, las matrices del espacio de estados relacionan el vector de estados x, la entrada u y la salida y:
La función de transferencia es la transformada Z de la respuesta al impulso. Se puede expresar en términos de matrices del espacio de estados como
H(z)=C(zI−A)−1B+D.
Para los sistemas de tiempo continuo, las matrices del espacio de estados relacionan el vector de estados x, la entrada u y la salida y:
˙x=Ax+Bu,y=Cx+Du.
La función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso. Se puede expresar en términos de matrices del espacio de estados como
Recopilado: Ing. Alejandro Guerrero A.
Referencias
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Bolton, W. (2017). Mecatrónica. Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C. V., México.
Castaño Giraldo, S. A. [SergioACastañoGiraldo]. (2019, September 25). Sistemas LINEALES y NO LINEALES ✅ [Control de Procesos] #003. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=04shebiSD-A
Completo, V. mi P. (n.d.). INGENIERIA CONTROL CLASICO. Blogspot.com. Retrieved September 29, 2022, from http://tecingenieriaclasico.blogspot.com/p/control-el-control-es-un-area-de-la.html
Cortés Reyes, F., Monjaraz Cid, J., & Soto Vargas, E. (2013). MECATRÓNICA CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN. Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V., M´exico.
Gandhi, M. (2019, November 27). Qué es un sistema de control y qué tipos hay. AUTYCOM. https://www.autycom.com/que-es-un-sistema-de-control/
Linealización de sistemas no lineales. (2018, June 1). dademuchconnection. https://dademuch.com/2018/06/01/linealizacion-de-sistemas-no-lineales/
Mecafenix, I. (2019, February 25). ¿Qué es un Sistema de control? (lazo abierto y lazo cerrado). Ingeniería Mecafenix. https://www.ingmecafenix.com/automatizacion/sistema-de-control/
Ogata, K. (2010). Ingeniería de control moderna. (5ª Ed.) Madrid: PEARSON EDUCACIÓN.
Soporte. (2019, January 18). Lazos de control para sistemas de vapor (Parte 1). Vapor para la Industria. https://vaporparalaindustria.com/lazos-de-control-para-sistemas-de-vapor-parte-1/
VIDEOS DE APOYO.
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